Étude de la température d'une pièce

D'après le sujet de bac STL-STI2D, métropole, 2013.

On éteint le chauffage dans une pièce d’habitation à \(22\) h. La température y est alors de \(20\) °C.

Le but de ce problème est d’étudier l’évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l’énergie dissipée à l’extérieur, au cours de la nuit, de 22 h à 7 h le lendemain matin.

On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à \(11\) °C.
On désigne par \(t\) le temps écoulé depuis \(22\) h, exprimé en heures, et par \(f(t)\) la température de la pièce exprimée en °C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(\left[0~;9\right]\).

Partie A

1. Conjecturer le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(\left[0~;9\right]\).

On admet désormais que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(\left[0~;9\right]\) par \(f(t) = 9\text e^{-0{,}12t} + 11\).

2. Démontrer la conjecture donnée à la question précédente. 
3. Calculer \(f(9)\). En donner la valeur arrondie au dixième, puis interpréter ce résultat.
4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, l’heure à partir de laquelle la température est inférieure à \(15\)°C.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.

Partie B

Le flux d’énergie dissipée vers l’extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction \(g\) telle que, pour tout nombre réel \(t\) de l’intervalle  \(\left[0~;9\right]\), \(g(t) = 0{,}7\text e^{-0{,}12t}\).

L’énergie \(\mathcal{E}\) ainsi dissipée entre \(22\) h et \(7\) h, exprimée en kilowattheures (kWh), s’obtient en calculant l’intégrale \(\mathcal{E} = \displaystyle \int_0^9 g(t)\,\text{d}t\).

1. Calculer la valeur exacte de l’énergie dissipée.
2. En déduire une valeur arrondie de \(\mathcal{E}\) à \(0{,}1\) kWh près.